La méthode de Newton Méthode de Newton
En 1669, Newton publie De analysi per aequationes numero terminorum infinitas, un ouvrage dans lequel il explique comment résoudre des équations polynomiales de façon approchée.
Il expose sa méthode en traitant l’équation x3-2x-5=0.
Isaac Newton (1642-1727)
1. Historique
Refaisons les calculs de Newton en utilisant les notations et les moyens d’aujourd’hui. Une représentation graphique de la fonction x→x3-2x-5 permet de voir que l’équation x3-2x-5=0 admet une solution unique comprise entre 2 et 2,1.
Choisissons x1=2
comme première valeur approchée de la solution
cherchée. En désignant par x cette
solution, posons x=2+d1 et cherchons
une valeur approchée de d1.
L’équation P(x)=0 devient (2+d1)3 - 2(2+d1) - 5 = 0.
Développons le 1er membre de
l’équation mais, comme Newton le faisait, négligeons
les termes 
et 
dans le résultat. L’équation P(x)=0
peut être remplacée par l’équation 10d1-1=0,
ce qui donne 
.
et dans le résultat. L’équation P(x)=0
peut être remplacée par l’équation 10d1-1=0,
ce qui donne .Posons maintenant d1=0,1+d2 et x2=x1+d1 d’où x2=x1+0,1+d2=2,1+d2. Développons
(2,1+d2)3 - 2(2,1+d2) -5
mais négligeons encore une fois les termes en d2 qui sont
de degré 2 et 3. On obtient alors l’expression approchée 11,23d2+0,061
qui doit être proche de 0. On en tire 
puis...
puis...
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