La division euclidienne des entiers Division euclidienne

1. Deux fonctions de Python

Si a et b sont deux entiers naturels avec b≠0, il existe deux entiers uniques q et r tels que a=qb+r avec 0 ≤ r < b. Les nombres q et r sont respectivement le quotient euclidien de a par b et le reste de la division euclidienne de a par b. Python dispose des opérateurs // et % pour calculer respectivement q et r. Le petit programme qui suit utilise ces deux fonctions pour calculer ces deux nombres.

# Quotient et reste euclidiens de 2 entiers naturels 
a=eval(input("Valeur de a ?")) 
b=eval(input("Valeur de b ?")) 
q=a//b 
r=a%b 
print("quotient euclidien : ",q) 
print("reste euclidien : ",r) 

Par exemple 30// 4 renvoie le quotient 7 et 30%4 renvoie le reste 2.

2. La division euclidienne des entiers relatifs

La division euclidienne définie dans N peut être étendue sans difficultés à Z mais sa définition doit être légèrement modifiée. Si a et b sont deux entiers relatifs, avec b ≠ 0, on démontre qu’il existe un seul entier relatif q et un seul entier naturel r tels que a=qb+r avec 0 ≤ r < |b|.

Le programme suivant, qui utilise également les fonctions...