Suites et racines carrées Racines carrées
L’idée de répéter un calcul en changeant les nombres utilisés à chaque étape est très ancienne puisqu’on en trouve la trace à Babylone, 1800 ans avant J.-C. En Grèce, on a souvent eu recours aux suites pour calculer des racines carrées.
1. La méthode d’Archytas de Tarente
Archytas de Tarente (vers 435 av. J.-C. ;
347 av. J.-C) était un disciple de Pythagore. Ses
travaux ont concerné la notion de moyenne. Étant
donnés deux nombres a et b, leur moyenne arithmétique m est égale à 
, leur moyenne géométrique g est définie par g2 = ab et leur moyenne harmonique h est définie par 
. On démontre que h<g<m. Archytas de Tarente a utilisé cette
relation pour calculer des racines carrées.
, leur moyenne géométrique g est définie par g2 = ab et leur moyenne harmonique h est définie par . On démontre que h<g<m. Archytas de Tarente a utilisé cette
relation pour calculer des racines carrées.Par exemple, pour trouver une valeur approchée
de 
, il commence par écrire 
puis, comme le montre le tableau suivant, il
déroule ses calculs :
, il commence par écrire puis, comme le montre le tableau suivant, il
déroule ses calculs :|
Étape n° |
x |
y |
Moyenne arithmétique de x et de y |
Moyenne harmonique de x et de y |
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1 |
2 |
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2 |
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3 |
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Avec les notations actuelles, on peut écrire 
et 
. Le nombre est connu avec une erreur qui porte sur la 9e décimale
seulement. On peut généraliser la méthode
d’Archytas de Tarente à un nombre réel
positif A quelconque en utilisant
le programme qui suit :
et . Le nombre est connu avec une erreur qui porte sur la 9e décimale
seulement. On peut généraliser la méthode
d’Archytas de Tarente à un nombre réel
positif A quelconque en utilisant
le programme qui suit :# Calcul d'une racine carrée avec...
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