Volume d’une boule

En remplaçant une boule par un empilement de cylindres droits de diamètres décroissants, il est possible d’obtenir un encadrement du volume de cette boule. Les calculs nécessaires reposent sur le théorème de Pythagore.

1. Principe du calcul

Au III^e siècle avant J.-C., Archimède a réussi à calculer des aires et des volumes à l’aide de sa « méthode d’exhaustion ». Cette méthode consistait à remplacer le volume ou l’aire à évaluer par un très grand nombre de volumes ou d’aires plus simples, des rectangles, des prismes, des cylindres par exemple.

Avec la naissance du calcul infinitésimal, les mathématiciens du XVII^e siècle ont repris cette idée et l’ont appliquée à de nombreux cas, celui d’une boule par exemple.

2. Le calcul

En pratique, on peut se contenter d’effectuer les calculs pour une demi-boule seulement.

1. Le schéma qui suit montre comment on peut empiler des cylindres, 5 dans le cas de la figure, pour obtenir une valeur approchée par défaut du volume d’une demi-boule de rayon r et de centre O.

D’une façon générale, on partage le rayon [OS] en n parties égales. Chaque cylindre a une hauteur . Il y a n-1 cylindres dont les rayons r_i sont donnés, d’après le théorème de Pythagore, par la formule . Dans cette formule, l’indice...