Le théorème de Bezout Théorème de Bezout
Soient a et b deux entiers relatifs. Le théorème de Bezout permet de répondre aux deux questions suivantes : existe-t-il des entiers relatifs u et v qui vérifient l’équation au+bv=pgcd(a,b) ? Si oui, u et v sont-ils uniques ?
1. Historique
La première formulation de ce théorème est due au mathématicien et poète Claude Gaspard Bachet de Méziriac (1581-1638) qui en donne une démonstration dans la seconde édition de son ouvrage Problèmes plaisants et délectables qui se font par les nombres paru en 1624. Le théorème est complété au XVIIIe siècle par Étienne Bezout (1730-1783).
Etienne Bezout (1730-1783)
2. Deux exemples
La recherche des nombres u et v peut se faire en utilisant l’algorithme d’Euclide appliqué aux nombres a et b. Il faut exprimer les restes des divisions euclidiennes successives en fonction de a et de b en utilisant l’algorithme d’Euclide.
1. Prenons comme premier exemple deux nombres a=136 et b=96 qui ne sont pas premiers entre eux. Le détail des calculs est présenté dans le tableau suivant :
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136=1×96+40 |
40=136-96=a-b |
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96=2×40+16 |
16=96-2×40=b-2(a-b)= 3b-2a |
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40=2×16+8 |
8=40-2×16=(a-b)-2(3b-2a)= 5a-7b |
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16=2×8+0 |
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On obtient pgcd(136,96)=8=5×136-7×96. Les nombres 5 et -7 sont appelés des coefficients...
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