La méthode d’Euler

Soit y=f(x) une fonction numérique définie et dérivable sur un intervalle I qui est solution de l’équation différentielle du 1^er ordre y’=F(x,y), F étant une fonction connue des variables x et y. On ne peut pas toujours calculer y explicitement, mais on peut calculer y(x) de façon approchée pour tout nombre x de l’intervalle I. Il existe différentes méthodes pour cela, la plus simple étant la méthode d’Euler (1707-1783).

Leonhard Euler (1707-1783)

1. Principe de la méthode d’Euler

Soit x₀ϵI. Si la condition initiale y0=y(x₀) est connue, on démontre que l’équation différentielle y’=F(x,y) admet généralement une solution unique⁸.

Posons I=[a;b] et choisissons un nombre x dans cet intervalle. Pour calculer y(x) de manière approchée par la méthode d’Euler, divisons l’intervalle [x₀;x] en n parties égales et posons d’où x_i = x₀ + ih pour 0 ≤i≤n.

L’idée sur laquelle repose la méthode d’Euler consiste à remplacer localement, c’est-à-dire sur un « petit » intervalle, la courbe qui représente la fonction y par sa tangente. En effet, si x_i+1 - x_i est suffisamment petit, on peut considérer que est une valeur approchée de y’(x_i). On peut alors écrire y(x_i+1) = y(x_i) + y’(x_i)(x_i+1 - x_i) soit...