Calcul approché de f ’(x) et de f ’’(x)
Une fonction numérique f est dérivable sur un intervalle si la courbe qui la représente admet une tangente et une seule en chacun des points de cet intervalle. On obtiendra une valeur approchée de la dérivée de f en identifiant localement la courbe à sa tangente.
1. Administration par un polynôme
Soit f une fonction numérique dérivable sur un intervalle ouvert I. Cherchons un polynôme P tel que P(x0)=f(x0), P’(x0)=f ’(x0) et, pour cela, posons P(x)=a+b(x-x0).
En faisant x=x0 dans l’expression de P, on obtient P(x0)=a d’où a=f(x0). En dérivant le polynôme P, on peut écrire P’(x)=b puis, en faisant x=x0 dans cette égalité, on obtient b=P’(x0) d’où b=f ’(x0). On a donc finalement P(x) = f(x0) + f ’(x0)(x- x0). On démontre qu’au voisinage de x0, f(x) ≈f(x0) + f ’(x0)(x - x0).
En fait, remplacer localement la fonction f par le polynôme P au voisinage de x0, revient à remplacer un petit arc de la courbe représentative de f par un petit segment de droite porté par la tangente à la courbe représentative de la fonction f au point d’abscisse x0. Le polynôme P est appelé développement de f(x) en série de Taylor6 au voisinage de x0 et à l’ordre 1.
Brook Taylor (1685-1731)
2. Calcul d’une valeur approchée...
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