Longueur d’un arc de courbe Longueur d’un arc de courbe

Le marquis de l’Hospital a publié en 1696 un traité intitulé Analyse des infiniment petits pour l’intelligence des lignes courbes. Ce livre marque les débuts du calcul infinitésimal Calcul infinitésimal. On peut y lire que « les lignes courbes doivent être considérées comme l’assemblage d’une infinité de lignes droites, chacune infiniment petite ».¹⁰

Guillaume de l’Hospital (1661-1704)

1. Principe du calcul

Le plan étant muni d’un repère orthonormal, soit f une fonction représentée par un arc de courbe continu sur un intervalle [a;b]. Les coordonnées de A sont a et f(a), celles de B sont b et f(b).

Pour calculer la longueur de l’arc de façon approchée, on peut placer n points A₂, A₃, …, A_n sur cet arc entre A et B. On assimile alors la longueur de l’arc AB à la somme des longueurs des segments A A₂, A₂ A₃, …, A_nB.

Sur cette figure par exemple, la longueur de l’arc est remplacée par la somme AA₂+A₂A₃+A₃A₄+A₄ A₅+A₅A₆+A₆B.

2. Un programme de calcul

Soit a l’abscisse de A et b celle de B. Partageons l’intervalle [a;b] en n parties égales et posons . Désignons par x₁ l’abscisse du point de subdivision A_i et par x₂ celle de A_i+1. On a alors x₁=a+id et x₂=x₁+d pour 0 ≤ i ≤ n.

La somme des longueurs des segments de droite est égale à...