La fonction exponentielle
Cette fonction, notée exp(x) ou ex, est la seule fonction numérique qui soit identique à sa dérivée et telle que exp(0)=1. Elle admet pour fonction réciproque la fonction logarithme népérien et vérifie la relation exp(x+y)=exp(x)×exp(y).
1. Historique
Dans une lettre adressée à Huygens
(1629-1695) en 1690, Leibniz (1646-1716) relie l’exponentielle aux
logarithmes népériens en montrant que 
équivaut à 
, b étant
le nombre tel que ln(b)=1.
Sept ans plus tard, c’est Jean Bernoulli (1667-1748) qui étudie
pour la première fois la fonction exponentielle en tant
que telle. Euler (1707-1783) choisit la lettre e pour représenter la
base des logarithmes népériens et définit
ce nombre par la relation ln(e)=1.
équivaut à , b étant
le nombre tel que ln(b)=1.
Sept ans plus tard, c’est Jean Bernoulli (1667-1748) qui étudie
pour la première fois la fonction exponentielle en tant
que telle. Euler (1707-1783) choisit la lettre e pour représenter la
base des logarithmes népériens et définit
ce nombre par la relation ln(e)=1.Il calcule e avec 23 décimales et démontre que c’est un nombre irrationnel. Charles Hermitte (1822-1901) démontre que e est un nombre transcendant en 1874.
Euler (1707-1783)
2. Définition de la fonction exponentielle par Euler Fonction exponentielle
En 1685, Jacques Bernoulli (1654-1705) s’intéresse
aux intérêts composés. L’année
est divisée en n périodes égales
et le taux annuel des intérêts est t. On convient qu’à la
fin de chaque période, on incorpore les intérêts
rapportés par un capital C qui
a été placé pour qu’ils...
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