Intégration approchée par la méthode des trapèzes

1. Rappel

Considérons encore une fois une fonction numérique f définie et continûment dérivable sur un intervalle [a;b]. Choisissons un repère orthonormal et représentons graphiquement cette fonction sur cet intervalle. Soit S l’aire de la surface limitée par la courbe représentative de f, par l’axe des x et par les droites ∆₁ et ∆₂.

Comme l’intégrale mesure la surface coloriée en gris sur cette figure, on a I=S.

2. Principe de la méthode des trapèzes Méthode des trapèzes

Comme le montre la figure suivante, on peut obtenir une valeur approchée de S en remplaçant la surface à mesurer par celle de n trapèzes de même hauteur. Un examen rapide de la figure permet de voir qu’on pourra espérer une meilleure précision qu’avec la méthode des rectangles.

Les trapèzes ont tous pour hauteur et pour bases respectives f(x_i) et f(x_i+1) avec 1 ≤ i ≤ n. On a donc . Si f est deux fois dérivable sur [a;b] et s’il existe un nombre positif M tel que , on démontre que .

3. Programme pour calculer...