Diagonalisation d’une matrice 2x2

Soient A, B et P trois matrices 2×2 telles que AP=PB. Par récurrence sur n ≥ 1, on démontre facilement que AⁿP=PBⁿ. Si P est inversible et si B est une matrice diagonale , on a A=PBP^-1 et Aⁿ=PBⁿP^-1. On dit que A est une matrice diagonalisable. La puissance n^ième de A est alors beaucoup plus simple à calculer puisque .

Pour montrer comment il est possible de diagonaliser une matrice, prenons l’exemple d’une matrice . Cherchons une matrice et une matrice telles que . Cette recherche nécessite la détermination, si elles existent, des valeurs propres de et des vecteurs propres qui lui sont associés.

1. Supposons les vecteurs et différents de et supposons les nombres λ₁ et λ₂ non nuls. Dans ces conditions, on peut observer que et que . L’équation AX=λX a des solutions en λ et en X. On dit qu’une valeur de λ qui est solution de cette équation est une valeur propre de la matrice A et qu’un vecteur X qui est solution de cette équation est un vecteur propre associé à une certaine valeur propre λ.

2. Sous forme matricielle, l’équation peut...