Suites définies par des sommes
Soit (un) une suite de nombre. On définit une nouvelle suite (Sn) en posant S1=u0 S2= u0+ u1+u2, S3= u0+u1+u2+u3 et ainsi de suite. On dit alors que la suite (Sn) est une série numérique de terme général un. Cette série est convergente si et seulement si le nombre Sn a une limite finie quand n tend vers l’infini. L’étude des séries a connu un grand développement à partir du XVIIe siècle. Série numérique
1. Historique
Les premiers travaux sur les séries sont très anciens. Pour calculer la somme 1+2+3+... + n, les mathématiciens chinois du IIIe siècle après J.-C. utilisaient la figure de l’escalier.
La figure suivante montre le calcul de S=1+2+3+ ..... +10 avec cette méthode.
L’escalier contient dix marches. Sur la figure,
on voit que l’aire de « l’escalier », qui
représente la somme 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10,
est égale à 
. D’une façon générale,
avec n marches, on obtient 
. Le calcul de la somme des n premiers entiers naturels fait
l’objet d’une légende qui concerne le grand mathématicien
allemand Carl Friedrich Gauss (1777-1855). Jeune écolier,
il aurait réussi à calculer la somme des entiers
de 1 à 100 en quelques instants de la façon suivante :
après avoir observé que 1+100=2+99=3+98= ......=50+51,
il aurait annoncé...
. D’une façon générale,
avec n marches, on obtient . Le calcul de la somme des n premiers entiers naturels fait
l’objet d’une légende qui concerne le grand mathématicien
allemand Carl Friedrich Gauss (1777-1855). Jeune écolier,
il aurait réussi à calculer la somme des entiers
de 1 à 100 en quelques instants de la façon suivante :
après avoir observé que 1+100=2+99=3+98= ......=50+51,
il aurait annoncé...
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