La méthode des approximations successives Méthode des approximations successives
Dès que l’on s’est intéressé à des équations algébriques de degré supérieur à 3, on a essayé de les résoudre par des méthodes approchées. Depuis les travaux d’Evariste Galois, on sait qu’au-delà du quatrième degré, il ne peut plus exister de méthode exacte de résolution des équations. La méthode des approximations successives, appelée aujourd’hui méthode du point fixe, est l’une des plus anciennes méthodes de résolution approchée des équations. Méthode du point fixe
1. Historique
Vers 1400, al-Kashi, astronome à l’observatoire de Samarkand, souhaitait construire une nouvelle table trigonométrique en calculant sin1° de façon précise en utilisant la relation sin3x = 3sin x - 4sin3 x. Pour calculer sin1°, al-Kashi devait résoudre l’équation sin3° = 3sin1°-4(sin1°)3. Le nombre sin3° se calcule facilement par étapes, à partir des valeurs remarquables déjà connues puisque, connaissant les lignes trigonométriques de 72° et de 60°, on en déduit celles de 12° puis, par deux divisions par 2 successives, on arrive aux lignes trigonométriques de 3°.
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