Arithmétique modulaire

Site utile :

Le lecteur qui voudrait explorer ce sujet pourrait progresser à l’aide du guide mis à disposition sur le site :

http://wims.unicaen.fr/wims/wims.cgi?session=GO60469EFB.3&+lang=fr&+module=U1%2Falgebra%2Fdocmodarith.fr&+cmd=reply&+job=read&+doc=1&+block=fermat

avec l’aimable autorisation de son auteur Bernadette Perrin-Riou.

L’arithmétique modulaire est un pan des mathématiques devenu incontournable parce que les technologies de chiffrement y puisent leurs solutions. Les méthodes décrites ici résolvent des problèmes sur les nombres entiers. Plus précisément, on s’intéresse au reste de leur division par d’autres nombres entiers.

1. La division euclidienne

Ayons une pensée émue pour l’instituteur(trice) patient(e) qui a tenté de nous expliquer les mécanismes de la division, ce devait être en CE2 ou en CM1. Nous avons découvert plus tard qu’il s’agissait de la division euclidienne ou division entière. À deux entiers naturels appelés dividende (D) et diviseur (d), cette opération consiste à associer deux autres entiers appelés quotient (Q) et reste (R) :

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2. La congruence modulo n

Pour un diviseur donné, par exemple 5, intéressons-nous aux nombres qui une fois divisés donnent le même reste :...

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