Équation cartésienne d’un plan
L’équation cartésienne Équation cartésienne d’un plan d’un plan est une expression de la forme ax+by+cz+d=0. Pour explorer les propriétés de ce type de représentation, l’outil essentiel est le produit scalaire de 2 vecteurs.
1. Produit scalaire de 2 vecteurs
Comme dans le plan, on peut effectuer le produit
scalaire de 2 vecteurs dans l’espace à condition qu’il
soit muni d’un repère 
orthonormal. Si 
et 
sont deux
vecteurs de l’espace, leur produit scalaire 
est le nombre a1a2 + b1b2 + c1c2. Les
deux définitions suivantes en résultent :
orthonormal. Si et sont deux
vecteurs de l’espace, leur produit scalaire est le nombre a1a2 + b1b2 + c1c2. Les
deux définitions suivantes en résultent :-
Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul.
-
Un vecteur est normal à un plan si et seulement s’il est orthogonal à tout vecteur de ce plan (en fait, il faut et il suffit qu’il soit orthogonal à 2 vecteurs non colinéaires du plan).
2. Équation d’un plan défini par un de ses points et par un vecteur normal
On démontre qu’un plan est parfaitement
défini quand on connaît l’un de ses points et
un vecteur normal. On peut donc déterminer son équation
cartésienne à partir de ces deux données.
Soit 
un vecteur normal au plan
(P), avec (a;b;c)≠(0;0;0), et soit A(xA;yA;zA) un point
du plan (P). Si M(x;y;z)
est un point quelconque du plan (P), le produit scalaire 
doit être nul puisque 
est un vecteur...
un vecteur normal au plan
(P), avec (a;b;c)≠(0;0;0), et soit A(xA;yA;zA) un point
du plan (P). Si M(x;y;z)
est un point quelconque du plan (P), le produit scalaire doit être nul puisque est un vecteur...
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