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  3. Les modèles linéaires généralisés
Extrait - Langage R et statistiques Initiation à l'analyse de données
Extraits du livre
Langage R et statistiques Initiation à l'analyse de données
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Les modèles linéaires généralisés

Modèles linéaires classiques

1. Rappel

Un modèle linéaire (cf. chapitre La régression) n’est pas nécessairement un modèle basé sur une équation linéaire telle que images/07eq01a.PNG, mais il est toujours basé sur une fonction de lien qui unit la variable réponse à la ou aux variables explicatives. Le choix entre les modèles linéaires simples et multiples (cf. chapitre La régression) et l’ANOVA (cf. chapitre La comparaison de deux groupes) et les autres dépend des variables explicatives (cf. figure 07-01). En effet, l’ANOVA est réalisée lorsque les variables explicatives sont qualitatives et la régression sur des variables réponses quantitatives.
images/07R01.png

Figure 07-01 : Choix entre régression linéaire simple, régression linéaire multiple, ANOVA et autres. Dans tous les cas pris en compte ici, la variable réponse est quantitative et suit une loi normale.

La fonction aov() du package {stats} qui permet de faire des ANOVA ou des ANCOVA dans R permet aussi de réaliser des régressions linéaires, et la fonction lm() du package {stats} permet quant à elle de réaliser des ANOVA ou ANCOVA. En effet, le modèle à ajuster est de la forme images/07eq01b.PNG pour les modèles linéaires et les analyses de la variance.
lm(Petal.Length ~ Sepal.Length, data = iris) %>% anova() 
aov(Petal.Length ~ Sepal.Length, data = iris) %>% anova() 
 
lm(Petal.Length ~ Species, data = iris) %>% anova() 
aov(Petal.Length ~ Species, data = iris) %>% anova() 
images/07R02.png

Figure 07-02 : La régression linéaire simple ou la régression linéaire multiple et l’ANOVA à un ou plusieurs facteurs sont identiques car elles reviennent à résoudre une équation linéaire.

Tous les modèles...

Généralisation des modèles linéaires en R

1. Utilisation des modèles linéaires généralisés

Les modèles linéaires généralisés, ou GLM (Generalised Linear Models) ont trois caractéristiques :

  • La fonction de lien. Elle lie la variable réponse au prédicteur, c’est-à-dire la partie réponse de l’équation, et à l’erreur f. La nature du lien donne son nom au GLM utilisé.

Distribution

Type de données

Type de GLM

Fonction de lien

Normale

gaussienne

Variable quantitative suivant une loi normale

Modèle linéaire classique

f(y) = y

identity()

Poisson

Comptage

Régression de poisson

Modèle log-linéaire

f(y) = (y)

log()

Binomiale

Variable binaire (qualitative à deux modalités)

Régression logistique

Modèle logit linéaire

images/07eq06a.PNG

logit()

Gamma

Durée

Modèle gamma linéaire avec fonction inverse

images/07eq06b.PNG

inverse()

  • Un prédicteur linéaire. Ce terme compliqué se rapporte à la partie réponse de l’équation. Comme pour les modèles linéaires classiques déjà vus, la partie explicative est composée de l’addition des variables prédictives : images/07eq07.PNG. C’est la raison pour laquelle on parle de modèles linéaires.
  • Une erreurimages/07eq08.PNG. La forme de l’erreur est dépendante de la fonction de lien. Par exemple, les erreurs d’un modèle linéaire classique suivent une loi normale, alors que celles de la régression de Poisson suivent une loi de Poisson.
L’équation s’écrit images/07eq09.PNG.

Les modèles linéaires généralisés lient une variable réponse à une ou plusieurs variables explicatives. Si la variable réponse est quantitative et si les données...

Modèles linéaires mixtes

1. Généralités et utilisation des modèles linéaires mixtes

Un modèle linéaire mixte est sembable à un modèle linéaire classique, c’est-à-dire à une régression linéaire, mais un ou plusieurs coefficients du prédicateur linéaire varient en fonction du groupe.

Les modèles linéaires mixtes sont principalement utilisés dans les cas suivants :

  • Quand il y a différents groupes de données organisées hiérarchiquement. Ce sont des effets nichés ou enchaussés les uns dans les autres.

    Par exemple, lors d’une expérience sur 36 mésanges réparties dans 9 volières (4 mésanges par volière) auxquelles on applique un des trois traitements, A, B et C, des mesures sont répétées toutes les semaines sur chaque individu : le groupe de données de premier niveau est l’individu mesuré à répétition, qui fait partie d’une volière, donc le deuxième niveau de groupe de données, qui fait partie d’un traitement qui est le troisième niveau de groupe de donnnées.

  • Quand l’effet (d’au moins un) des groupes n’est pas l’objet d’étude. Pour les personnes travaillant dans la biologie, c’est la part liée à l’individu ou au plan d’expérience qui ne les intéresse pas. Cette variation est aussi appelée effet aléatoire, il n’est ni reproductible ni généralisable à l’échelle d’une population contrairement à un effet fixe.

    Dans l’exemple des mésanges, connaître l’influence de l’individu ou des volières sur la variable d’intérêt...

Traitement des données manquantes dans les GLM

Il arrive que le jeu de données ne soit pas complet, c’est-à-dire que certaines variables ne soient pas disponibles une ou plusieurs fois. L’absence de données peut être due à un défaut dans le plan d’expérience, à une mesure perdue ou non prise, à une personne qui refuse de répondre ou à un défaut d’enregistrement, à l’appareil de mesure qui a un raté…

Ce problème assez courant doit être traité en deux étapes : une étape de détection (cf. section Détection et visualisation des données manquantes dans R, chapitre Les statistiques) et une étape de traitement.

Pour les fonctions lm(), glm() du package {stats}, lmer du package {lme4} et lme() du package {nlme}, le traitement automatique des données revient à supprimer les lignes concernées. Cette solution radicale est rarement une bonne idée. En effet, pour la personne qui fournit les données, les voir ainsi supprimées n’est jamais agréable et surtout est associé à un coût non négligeable. Avec ces fonctions, le traitement des données manquantes doit donc se faire en amont, ce qui n’est pas le cas avec les fonctions utilisées dans le chapitre L’analyse en composantes principales.

La question principale à se poser est de savoir ce que signifient les valeurs manquantes.

Petit déroulé de la démarche à adopter face aux valeurs manquantes :

 Identifiez et quantifiez les valeurs manquantes : utilisez summary(), du package {base}, qui génère un tableau résumé du jeu de données, ou la fonction gg_miss_var() du package...

Modèles non linéaires à effets fixes ou mixtes

Les modèles linéaires généralisés acceptent différentes fonctions de lien. Il est possible de ne pas en utiliser lorsque le lien entre la variable réponse et les variables explicatives n’a pas de forme prédéfinie. Ce type d’étude est très contraignant, car elle nécessite au préalable de déterminer la fonction mathématique qui explique le nuage de points.

Il existe différents packages qui peuvent convenir à beaucoup de situations. Il faut commencer par faire une recherche en s’appuyant sur les analyses passées et publiées pour déterminer le type de modèles à utiliser ainsi que les paramètres initiaux à fournir. En effet, contrairement aux modèles linéaires généralisés, les modèles non linéaires partent de paramètres initiaux fournis par l’utilisateur et les affinent. Ainsi, il est possible que cela ne converge pas.

Ce type d’étude demande un niveau plus poussé en statistiques et en connaissances des données et ne sera pas abordé dans cet ouvrage. Du coup, il arrive que dans certains cas, les modèles linéaires ne conviennent pas ou qu’il n’y ait pas de variable réponse définie ou à étudier. Dans ce cas, comment traiter les données ? Comment comprendre quelles sont les données qui interagissent ? L’objectif de l’analyse en composantes principales (cf. chapitre L’analyse en composantes principales) est précisément de déterminer dans un grand jeu de données quelles sont les variables qui le définissent au mieux. Une autre approche similaire, non développée dans ce livre...