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  3. Instruments à taux fixe
Extrait - Mathématiques financières (3ième édition) Construisez votre bibliothèque de fonctions avec VBA Excel
Extraits du livre
Mathématiques financières (3ième édition) Construisez votre bibliothèque de fonctions avec VBA Excel
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Instruments à taux fixe

Introduction

Vous allez dans ce chapitre réaliser un ensemble de fonctions utiles pour la gestion des instruments à taux fixe.

Un instrument à taux fixe paye à intervalles réguliers des intérêts basés sur le même taux tout au long de sa vie. Le montant des intérêts peut ne pas être constant.

Par exemple les obligations de l’Etat français, les OAT, sont des instruments à taux fixe. Pour plus d’informations sur les obligations, vous pouvez consulter l’article qui leur est consacré sur Wikipédia, à l’adresse : http://fr.wikipedia.org/wiki/Obligation_(finance)

Nous ne considérons que les instruments à remboursement in fine, c’est-à-dire dont le flux de capital est unique et à la date de maturité de l’instrument.

La fonction FluxTF

Objectif

Cette fonction détermine les dates et les flux d’un instrument à taux fixe entre la date de calcul et la date de maturité.

Arguments

Nom de l’argument

Description

Format de l’argument

DateDeCalcul

Date de calcul

Date

DateDeMaturite

Date de maturité de l’instrument

Date

dblCoupon

Coupon (%)

Double, coupon de l’instrument

iFrequence

Fréquence

Entier, nombre de coupon par an de l’instrument

Base

Base

Variant

dblValeurRemboursement

Valeur de remboursement

Double

ModeAjustement

Mode d’ajustement (optionnel)

Variant

bPremierCouponPlein

Premier Coupon Plein (optionnel)

Booléen

TypeCouponBrise

Type coupon brisé (optionnel)

Variant

DateDeDepart

Date de départ de l’instrument (optionnel, obligatoire si le type de coupon brisé est renseigné)

Date

    

Mode de calcul

Si les flux ne sont pas ajustés selon leur durée, les paiements d’intérêts sont tous égaux :

Flux(i)=dblValeurRemboursement*Coupon/iFrequence

Pour un investissement de 100 € recevant un coupon de 5% par an, payé en 2 fois, les flux d’intérêts seront de 2.5 €.

Si les flux sont ajustés selon leur durée, par exemple en mode Modified Following, il faut pondérer chaque flux par la fonction FractionAnnee :

dblFrac=FractionAnnee(DateFlux(i-1);DateFlux(i);ModeAjustement)

Flux(i) = dblValeurRemboursement*Coupon*dblFrac

Que les flux d’intérêts soient ajustés ou non, le dernier flux de l’instrument est égal au flux d’intérêts plus le flux de remboursement.

Code de la fonction FluxTF

Pour déterminer la date des flux nous utilisons...

La fonction CouponCouruTF

Objectif

Cette fonction détermine le coupon couru entre la date du dernier coupon et la date de calcul. Elle nous permettra de distinguer le prix avec ou sans coupon couru.

Le prix d’une obligation incluant son coupon couru est le prix plein coupon ou dirty price.

Le prix d’une obligation excluant son coupon couru est le prix pied de coupon ou clean price.

images/EC0601.png

Pour en savoir plus sur les coupons courus vous pouvez consulter la section Coupon couru de l’article de Wikipédia sur les obligations à l’adresse suivante : http://fr.wikipedia.org/wiki/Obligation_(finance)

Arguments

Nom de l’argument

Description

Format de l’argument

DateDeCalcul

Date de calcul

Date

DateDeMaturite

Date de maturité de l’instrument

Date

dblCoupon

Coupon (%)

Double, coupon de l’instrument

iFrequence

Fréquence

Entier, nombre de coupon par an de l’instrument

Base

Base

Variant

dblValeurRemboursement

Valeur de remboursement

Double

ModeAjustement

Mode d’ajustement (optionnel)

Variant

bPremierCouponPlein

Premier Coupon Plein (optionnel)

Booléen

TypeCouponBrise

Type coupon brisé (optionnel)

Variant

DateDeDepart

Date de départ de l’instrument (optionnel, obligatoire si le type de coupon brisé est renseigné)

Date

    

Mode de calcul

Le coupon couru est égal à la fraction des intérêts acquis depuis le dernier paiement....

La fonction TauxRendementTF

Objectif

Cette fonction détermine le taux de rendement actuariel d’une obligation.

Le taux de rendement actuariel est le taux d’actualisation qui permet de retrouver le prix plein coupon d’un instrument à taux fixe.

La courbe des taux est considérée comme plate. Chaque flux est actualisé au même taux.

images/EC0602.png

Arguments

Nom de l’argument

Description

Format de l’argument

DateDeCalcul

Date de calcul

Date

DateDeMaturite

Date de maturité de l’instrument

Date

dblPrixPied

Prix pied de coupon de l’instrument

Double

dblCoupon

Coupon (%)

Double, coupon de l’instrument

iFrequence

Fréquence

Entier, nombre de coupon par an  de l’instrument

Base

Base

Variant

dblValeurRemboursement

Valeur de remboursement

Double

ModeAjustement

Mode d’ajustement (optionnel)

Variant

bPremierCouponPlein

Premier Coupon Plein (optionnel)

Booléen

TypeCouponBrise

Type coupon brisé (optionnel)

Variant

DateDeDepart

Date de départ de l’instrument (optionnel, obligatoire si le type de coupon brisé est renseigné)

Date

  

Mode de calcul

Il faut chercher le taux t applicable afin que la somme des flux actualisés à ce taux soit égale au prix plein coupon de l’instrument :

dblFrac(i) = FractionAnnee(i-1;i;Base)

PrixPlein = dblPrixPied+CouponCouru

images/EC0603.png

Pour ce faire vous utiliserez la méthode de Newton, décrite sur Wikipedia à l’adresse http://fr.wikipedia.org/wiki/Methode_de_Newton

Posez :

images/EC0604.png
images/EC0605.png
images/EC0606.png

Itérez 100 fois avec :

images/EC0607.png
Le taux de rendement est égal à images/EC0608.png.

Code de la fonction TauxRendementTF

Pour gagner en vitesse d’exécution, les fractions d’années sont calculées une fois et conservées dans un tableau. La précision de la fonction peut être améliorée en augmentant le nombre de fois que la boucle est exécutée.


Function TauxRendementTF(DateDeCalcul...

La fonction PrixPleinTF

Objectif

Cette fonction détermine le prix plein coupon d’un instrument à taux fixe à partir de son taux de rendement actuariel.

Arguments

Nom de l’argument

Description

Format de l’argument

DateDeCalcul

Date de calcul

Date

DateDeMaturite

Date de maturité de l’instrument

Date

dblTauxRendement

Taux de rendement de l’instrument

Double

dblCoupon

Coupon (%)

Double, coupon de l’instrument

iFrequence

Fréquence

Entier, nombre de coupon par an de l’instrument

Base

Base

Variant

dblValeurRemboursement

Valeur de remboursement

Double

ModeAjustement

Mode d’ajustement (optionnel)

Variant

bPremierCouponPlein

Premier Coupon Plein (optionnel)

Booléen

TypeCouponBrise

Type coupon brisé (optionnel)

Variant

DateDeDepart

Date de départ de l’instrument (optionnel, obligatoire si le type de coupon brisé est renseigné)

Date

   

Mode de calcul

Comme vous l’avez vu pour la fonction TauxRendement, le prix plein coupon est égal à la somme des flux actualisés au taux de rendement.

dblFrac(i) = FractionAnnee(i-1;i;Base)

IMAGES/EC0609.PNG

Code de la fonction PrixPleinTF

Le code de la fonction est similaire à celui de la fonction TauxRendement.


Function PrixPleinTF(DateDeCalcul As Date, DateDeMaturite As Date, _ 
          dblTauxRendement As Double, dblCoupon As Double, _ 
        ...

La fonction PrixPiedTF

Objectif

Cette fonction détermine le prix pied de coupon d’une obligation. Celui-ci est égal au prix plein coupon diminué du coupon couru.

Arguments

Nom de l’argument

Description

Format de l’argument

DateDeCalcul

Date de calcul

Date

DateDeMaturite

Date de maturité de l’instrument

Date

dblTauxRendement

Taux de rendement de l’instrument

Double

dblCoupon

Coupon (%)

Double, coupon de l’instrument

iFrequence

Fréquence

Entier, nombre de coupon par an de l’instrument

Base

Base

Variant

dblValeurRemboursement

Valeur de remboursement

Double

ModeAjustement

Mode d’ajustement (optionnel)

Variant

bPremierCouponPlein

Premier Coupon Plein (optionnel)

Booléen

TypeCouponBrise

Type coupon brisé (optionnel)

Variant

DateDeDepart

Date de départ de l’instrument (optionnel, obligatoire si le type de coupon brisé est renseigné)

Date

   

Mode de calcul

Le prix plein coupon est égal à la somme des flux actualisés au taux de rendement.

dblFrac(i) = FractionAnnee(i-1;i;Base)

images/EC0610.png

Le prix pied de coupon est égal au prix plein diminué du coupon couru.

PrixPied = PrixPlein - CouponCouru

Code de la fonction PrixPiedTF

Vous avez réalisé une fonction calculant le prix plein, une fonction calculant le coupon couru, il ne reste plus qu’à effectuer la soustraction.


Function PrixPiedTF(DateDeCalcul...

La fonction SpreadSurCourbeTF

Objectif

Cette fonction est utile pour valoriser les obligations émises par les entreprises. Ce type d’instrument aussi appelé instrument de crédit se valorise par rapport à la courbe taux des swaps. Il faut déterminer la constante, qui une fois ajoutée aux taux d’actualisation permet de retrouver le prix de marché. Cette constante est appelée spread par les professionnels, elle est l’indicateur du risque de cet instrument. Plus le spread est élevé, plus le risque de défaut de paiement est grand.

Un spread est une constante à ajouter aux taux de la courbe pour retrouver le prix de marché d’une obligation.

Cette fonction détermine le spread à appliquer à une courbe de taux zéro coupon, calculée avec la fonction CourbeActualisation, pour retrouver le prix d’une obligation.

Arguments

Nom de l’argument

Description

Format de l’argument

DateDeCalcul

Date de calcul

Date

DateDeMaturite

Date de maturité de l’instrument

Date

dblPrixPied

Prix pied de coupon de l’instrument

Double

dblCoupon

Coupon (%)

Double, coupon de l’instrument

iFrequence

Fréquence

Entier, nombre de coupon par an de l’instrument

Base

Base

Variant

dblValeurRemboursement

Valeur de remboursement

Double

TabDateFA

Tableau des maturités des facteurs d’actualisation

Variant

TabFA

Tableau des facteurs d’actualisation

Variant

ModeAjustement

Mode d’ajustement (optionnel)

Variant

bPremierCouponPlein

Premier Coupon Plein (optionnel)

Booléen

TypeCouponBrise

Type coupon brisé (optionnel)

Variant

DateDeDepart

Date de départ de l’instrument (optionnel, obligatoire si le type de coupon brisé est renseigné)

Date

   

Mode de calcul

Il faut chercher le spread à appliquer aux facteurs d’actualisation permettant d’égaliser la somme des flux actualisés au prix plein coupon de l’instrument :

images/EC0611.png

Comme dans le cas de la fonction TauxRendement, vous utilisez la méthode de Newton.

Posez :

images/EC0612.png

Itérez 100 fois avec :

images/EC0613.png

Le spread est égal à S100.

Code...

La fonction PrixPleinSurCourbeTF

Objectif

Cette fonction détermine le prix plein coupon d’une obligation à partir d’une courbe de facteurs d’actualisation. Plutôt que de considérer la courbe des taux plate, comme dans le cas de la fonction PrixPleinTF, où le taux d’actualisation est identique pour chaque flux, ici les taux d’actualisation proviennent d’une courbe de facteurs d’actualisation, déterminée à partir d’instruments de marché. Vous pouvez choisir d’appliquer un spread aux facteurs d’actualisation, pour par exemple, valoriser un titre d’entreprise (corporate bond).

Arguments

Nom de l’argument

Description

Format de l’argument

DateDeCalcul

Date de calcul

Date

DateDeMaturite

Date de maturité de l’instrument

Date

dblCoupon

Coupon (%)

Double, coupon de l’instrument

iFrequence

Fréquence

Entier, nombre de coupon par an de l’instrument

Base

Base

Variant

dblValeurRemboursement

Valeur de remboursement

Double

TabDateFA

Tableau des maturités des facteurs d’actualisation

Variant

TabFA

Tableau des facteurs d’actualisation

Variant

dblSpread

Spread (optionnel)

Double

ModeAjustement

Mode d’ajustement (optionnel)

Variant

bPremierCouponPlein

Premier Coupon Plein (optionnel)

Booléen

TypeCouponBrise

Type coupon brisé (optionnel)

Variant

DateDeDepart

Date de départ de l’instrument (optionnel, obligatoire si le type de coupon brisé est renseigné)

Date

   

Mode de calcul

Vous actualiserez les flux de l’instrument en utilisant les facteurs d’actualisation, éventuellement augmenté du spread, déterminé par la fonction CourbeActualisation.

dblFrac(i) = FractionAnnee(DateDeCalcul;i;Base)...

Les fonctions de gestion du risque d’un instrument à taux fixe

La valeur d’un instrument de taux est fonction des taux d’intérêts. Anticiper la variation de la valeur permet d’anticiper le risque de perte et de couvrir ce risque. Vous allez construire dans cette partie les fonctions permettant de déterminer les variations de la valeur de l’instrument à une variation des taux d’intérêts.

La variation du prix P d’un titre suite à une variation du taux de rendement de r à r’, peut être déterminée localement par un développement limité au deuxième ordre :

images/EC0615.png

Les grandeurs principalement utilisées sont :

  • La sensibilité S ;

La sensibilité est la variation relative du prix à une variation du taux de rendement.

images/EC0616.png
  • La convexité C ;

La convexité mesure la variation relative de la sensibilité en fonction du taux de rendement.

images/EC0617.png
  • La duration D ;

La duration est la durée de vie moyenne actualisée des flux.

images/EC0618.png

Vous pouvez obtenir plus de détails sur ces grandeurs sur le site de l’encyclopédie Wikipedia.

La fonction BPVTF

Objectif

Cette fonction détermine la variation de prix d’une obligation pour une variation du taux de rendement. C’est la dérivée première du prix par rapport au taux de rendement. Les initiales BPV correspondent à Basis Point Value.

Arguments

Nom de l’argument

Description

Format de l’argument

DateDeCalcul

Date de calcul

Date

DateDeMaturite

Date de maturité de l’instrument

Date

dblTauxRendement

Taux de rendement de l’instrument

Double

dblCoupon

Coupon (%)

Double, coupon de l’instrument

iFrequence

Fréquence

Entier, nombre de coupon par an de l’instrument

Base

Base

Variant

dblValeurRemboursement

Valeur de remboursement

Double

ModeAjustement

Mode d’ajustement (optionnel)

Variant

bPremierCouponPlein

Premier Coupon Plein (optionnel)

Booléen

TypeCouponBrise

Type coupon brisé (optionnel)

Variant

DateDeDepart

Date de départ de l’instrument (optionnel, obligatoire si le type de coupon brisé est renseigné)

Date

Mode de calcul

Cette fonction correspond à la dérivée première du prix, PrixPlein’(t) par rapport à son taux de rendement t, pour 0.01% :

images/EC0619.png

Code de la fonction...