Les probabilités

1. Une simulation pour conjecturer

On lance deux dés à six faces bien équilibrés 10 000 fois de suite et on s’intéresse aux événements suivants :

1. Le premier programme détermine la fréquence de l’événement B quand on lance les dés 10 000 fois de suite.

# Fréquence de l'événement B 
from random import* 
n=0 
for i in range(1,10001): 
    dé1=randint(1,6) 
    dé2=randint(1,6) 
    s=dé1+dé2 
    if s>7: 
        n=n+1 
f=n/10000 
print("Fréquence de l'événement B=",f) 

Pour une série de 10 000 lancers successifs des deux dés, on obtient une fréquence de 0,4207. Comme le nombre de lancers est très grand, on peut assimiler cette fréquence à la probabilité de réalisation de l’événement B.

1. Historique

Thomas Bayes (1702-1761) était un pasteur et mathématicien anglais qui défendait les idées de Newton. Ses travaux sur les probabilités n’ont été publiés qu’en 1763, deux ans après sa mort. De façon indépendante, Pierre-Simon de Laplace (1749-1827) a exposé les mêmes résultats dans son Essai philosophique sur les probabilités publié en 1774.

Thomas Bayes (1702-1761)

2. La formule de Bayes

Si deux événements A et B d’un même univers U forment une partition de cet univers, on a alors et . Il en résulte que tout événement de U appartient soit à A soit à B. En observant que les événements et sont disjoints et ont pour réunion A, on peut écrire . Cette relation, qui constitue la formule de Bayes, peut s’écrire également .

3. Une première simulation

On dispose de trois urnes identiques. La première contient 2 boules blanches et 1 noire. La deuxième contient 3 boules blanches et 1 noire. La troisième contient 2 boules blanches et 2 noires. On choisit une urne au hasard et on en tire une boule. On peut déterminer la probabilité de tirer une boule blanche avec ce programme qui simule une série de 1 000 expériences :

from random import* 
compteur=0 
for n in range(1,1000): 
    blanche=0 
# Choix de l'urne 
    numéro=randint(1,3) 
    if numéro==1: 
        x=randint(1,3) ...

1. Variables aléatoires discrètes

Grandeur numérique attachée à une expérience aléatoire, une variable aléatoire peut prendre diverses valeurs qui ne dépendent que de cette expérience aléatoire. Si le nombre de ces valeurs est fini, on dit que la variable est discrète. Par exemple, quand on lance deux dés à 6 faces, la somme des points obtenus définit une variable aléatoire discrète X qui peut prendre 11 valeurs comprises entre 2 et 12. L’événement X=5 est réalisé dans 4 cas mais l’événement X=12 dans un seul.

2. Variables aléatoires et lois de probabilité

Soit X une variable aléatoire discrète qui peut prendre n valeurs différentes notées x₁, x₂, x₃, …., x_n. La connaissance des probabilités p₁, p₂, p₃,…., p_n des événements (X=x₁), (X=x₂), (X=x₃), ….., (X=x_n) définit la loi de probabilité de X. Par exemple, si k est l’entier obtenu en lançant un seul dé cubique, la probabilité de l’événement (X=k) est égale à . On écrit alors P(X=k)=.

3. Espérance mathématique d’une variable aléatoire

Soit X une variable aléatoire discrète qui prend les valeurs x₁, x₂, x₃, ….., x_n avec les  probabilités respectives p₁, p₂, p₃, ….., p_n. Par définition...

1. Expériences et schémas de Bernoulli

Une expérience aléatoire qui n’a que deux issues possibles, un succès ou un échec, est appelée une expérience de Bernoulli. La répétition de plusieurs expériences de Bernoulli constitue un schéma de Bernoulli. La figure qui suit montre l’arbre des possibilités qui caractérise un schéma de Bernoulli constitué d’une succession de quatre épreuves identiques. Un succès est noté S, un échec est noté E.

Cet arbre permet de déterminer le nombre des succès obtenus quand on fait se succéder 1, 2, 3 ou 4 épreuves. Pour cela, on utilise les deux règles suivantes :

2. Étude d’un exemple

Utilisons cet arbre pour déterminer la probabilité de l’événement obtenir k fois un 6 en lançant un dé à 6 faces bien équilibré 4 fois de suite, pour 0 ≤ k ≤ 4.

Événement à obtenir en 4 lancers successifs	Probabilité de l’événement
4 fois le 6
3 fois le 6
2 fois le 6
1 fois le 6
0 fois le 6

1. Historique

En 1837, trois ans avant sa mort, le mathématicien et physicien français Denis Siméon Poisson (1782-1840) a publié ses Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile. Dans cet ouvrage, il étudie les probabilités de voir un innocent condamné par un jury pour un crime qu’il n’aurait pas commis ou, à l’inverse, de voir un coupable véritable acquitté par la justice. Ce travail l’amène à formuler une nouvelle loi de probabilité qui, plus tard, portera son nom.

2. Expression de la loi de Poisson

Une variable aléatoire discrète X qui suit une loi de Poisson de paramètre m prend des valeurs positives entières k=0, 1, 2, 3,…, etc. On a . Le paramètre m est toujours une moyenne : un nombre moyen, une fréquence moyenne, etc. On démontre que E(X)=(X)=m. Le programme qui suit calcule P(X=k).

# Loi de Poisson. Calcul des probabilités P(X=k) 
m=eval(input("Valeur de m ?")) 
k=eval(input("Valeur de k ?")) 
from math import* 
F=factorial(k) 
proba=(m**k)*exp(-m)/F 
print("P(X)=",proba) 

Avec m=0,516 et k=0, on obtient les résultats suivants :

Valeur de m ?  0.516 
Valeur de k ?  0 
P(X)= 0.596903392674358 

En modifiant légèrement le programme précédent, on peut calculer P(X ≤ k).

# Loi de Poisson. Calcul des probabilités P(X<=k) 
m=eval(input("Valeur de m ?")) 
k=eval(input("Valeur...

1. Historique

Considérée pendant longtemps comme une partie des mathématiques appliquées, la théorie des probabilités prend un nouvel essor au début du XX^e siècle grâce à l’introduction de nouveaux concepts comme celle de variable aléatoire continue opposée à la notion de variable aléatoire discrète. Les travaux d’Émile Borel (1871-1956) et ceux d’Henri Lebesgue (1875-1941) ont permis de rattacher les probabilités à la théorie de l’intégration. Certaines lois de probabilité, qui avaient été définies plus ou moins empiriquement, ont alors été définies rigoureusement. Axiomatisée par les travaux d’Andreï Kolmogorov (1903-1987), la théorie des probabilités est devenue une branche des mathématiques à part entière en 1933.

Émile Borel (1871-1956)

2. Qu’est-ce qu’une variable aléatoire continue ?

Imaginons que l’on verse de l’eau en quantité aléatoire dans un récipient cylindrique de 20 cm de hauteur. Désignons par X (en cm) la hauteur atteinte par l’eau une fois qu’elle a été versée.

Cette variable est une variable aléatoire qui peut prendre une infinité de valeurs dans l’intervalle [0;20]. On dit que c’est une variable aléatoire continue.

1. À quoi sert cette loi ?

En pratique, la loi exponentielle concerne toujours des temps d’attente, des durées de vie ou encore des durées de fonctionnement sans panne. Si X est une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle, elle s’exprime en secondes ou en minutes ou en jours ou en mois ou encore en années.

2. Définition

Une variable aléatoire suit la loi exponentielle de paramètre λ > 0 si elle admet pour densité de probabilité sur la fonction f définie par . La figure qui suit montre les courbes représentatives de la fonction f pour trois valeurs différentes du paramètre λ.

Toutes ces fonctions sont positives et décroissantes et on a toujours f(0)= λ.

3. Espérance et variance d’une loi exponentielle.

On démontre que l’espérance E(X) d’une variable aléatoire X distribuée selon une loi exponentielle de paramètre λ est égale à . Sa variance V(X) est égale à .

Si on ne connaît pas la valeur du paramètre λ mais si on sait que la valeur moyenne de X est  égale à m, alors on peut estimer que d’où . Considérons par exemple les machines à laver de marque Z qui connaissent en moyenne leur première panne au bout de 2,5 années de fonctionnement. Soit T (en années) la variable aléatoire égale au temps qu’il faut attendre après la mise en service d’une machine neuve de cette marque pour que survienne la première panne. Si on admet que T suit une loi exponentielle de paramètre λ, on a d’où...

1. Définition

La loi normale est une loi de probabilité continue qui dépend de deux paramètres seulement : son espérance E(X) notée généralement μ et son écart-type noté σ(X) ou plus simplement σ. Plus σ est petit et plus les valeurs prises par X sont concentrées autour de la moyenne μ. La densité de probabilité de la loi normale de moyenne m et d’écart-type σ est la fonction f définie pour par . Cette fonction est positive et atteint son maximum pour x=m. Sa courbe représentative est la célèbre « courbe en cloche » qui est symétrique par rapport à la parallèle à l’axe des y qui passe par m. Voici par exemple la courbe qui représente la densité de probabilité de la loi normale de moyenne m=5 et d’écart-type σ=3. Sur la figure, l’aire de la partie coloriée représente la probabilité P(X ≤ 4).

En raison de la symétrie de la courbe, on peut observer qu’on a toujours P(X ≤ μ) = P(X ≥ μ) = 0,5

D’une façon générale, pour un nombre réel a quelconque, on a .

2. Loi normale réduite...

1. Intervalle de fluctuation d’une moyenne

Considérons une série de valeurs numériques ayant pour moyenne μ et pour écart-type σ. En prélevant à chaque fois au hasard n valeurs dans cette série, on peut constituer une série de k échantillons. Soit X la variable aléatoire qui prend comme valeurs les moyennes des k échantillons. On démontre que, pour n suffisamment grand, la série des moyennes des échantillons constitue une série normale et, pour n suffisamment grand, l’espérance de X est égale à μ et son écart-type à . On peut alors se ramener à une série normale réduite en posant . Pour trouver un nombre positif α tel que P( α < Z < α) = 0,95, on peut utiliser le programme de la section Calcul inverse de ce chapitre. On obtient a=1,96. Par suite, P(-1,96 < Z < 1,96) = 0,95.

En remplaçant Z par , on peut alors écrire . En pratique, si on a n>30 on peut dire qu’il y a 95 chances sur 100 pour que la moyenne d’un échantillon de n valeurs appartienne à l’intervalle . Cet intervalle est appelé l’intervalle de fluctuation au seuil de 95% de la moyenne des échantillons.

Le programme suivant calcule les bornes a et b de l’intervalle de fluctuation de la moyenne des échantillons de taille n au seuil de 95%, ces échantillons étant extraits d’un ensemble de moyenne μ et d’écart-type...