Éléments de statistiques

1. Un exemple

Pour expliciter ces traitements, nous prendrons l’exemple d’une série de N notes, toutes comprises entre 0 et 20. Nous commencerons par ranger ces notes dans un ordre croissant en utilisant pour cela l’instruction sorted(liste).

# Rangement des notes de la série dans un ordre croissant 
série=[11,8,17,12,11,6,11,10,12,15,8,8,9,8,11,15,5,5,9,12,13,11,
8, 7,5,12,13,13] 
N=len(série) 
sérieclassée=sorted(série) 
print(sérieclassée) 
# Note la plus basse, note la plus élevée et étendue de la série 
print("note la plus basse :",sérieclassée[0]) 
print("note la plus haute :", sérieclassée[N-1]) 
print("étendue de la série :", sérieclassée[N-1]-sérieclassée[0]) 

Voici le résultat :

[5, 5, 5, 6, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 10, 11, 11, 11, 11, 11, 12, 
12, 12, 12, 13, 13, 13, 15, 15, 17] 
note la plus basse : 5 
note la plus haute : 17 
étendue de la série : 12 

2. Construction du tableau des effectifs

Une fois que la série des notes a été rangée dans un ordre croissant, on peut construire le tableau des effectifs de la série. Dans le programme qui effectue ce travail, on utilise 3 listes et 4 instructions particulières de Python qui permettent d’agir sur ces listes. L’instruction liste.count(y) détermine dans une liste le rang de la note y. L’instruction if liste[i]not in copie détermine...

1. Historique

Soit x₁, x₂, x₃, ......., x_n et y₁, y₂, y₃, ....., y_n deux séries statistiques de n éléments chacune de moyennes m_x et m_y, de variances V_x et V_y. On peut représenter graphiquement ces deux séries par un nuage de points en prenant x_i et y_i pour coordonnées du point M_i. Prenons par exemple 2, 3, 3, 5, 7, 12, 15 comme série des x et 1, 4, 3, 7, 10, 12, 15 comme série des y :

Les 7 points ne semblent pas disposés au hasard et il semble y avoir une certaine « corrélation » entre les deux séries. La notion de corrélation provient de la biologie. Selon le grand naturaliste Cuvier, il existe nécessairement des corrélations entre les différentes parties du corps d’un animal. Selon lui, ces corrélations peuvent concourir à adapter une espèce à un milieu ou à un régime alimentaire précis ou, au contraire, n’avoir aucune utilité en tant que telles.

La notion a été introduite en statistique par Francis Galton (1822-1911), un cousin de Charles Darwin (1809-1882). Elle a été mathématisée par le mathématicien britannique Karl Pearson (1857-1936) en 1896.

2. Définitions

La covariance des deux séries statistiques (x_n) et (y_n) d’effectif n et de moyennes respectives m_x et m_y est le nombre .

Le coefficient de corrélation de ces deux séries est le nombre . On démontre que ce coefficient varie entre -1 et +1. Son interprétation est la suivante :

1. Historique

La méthode des moindres carrés a été élaborée par Gauss (1777-1855) et par Legendre (1752-1833) au début du XIX^e siècle dans le cadre de leurs travaux de mécanique céleste. Elle permet de rechercher une fonction qui puisse rendre compte des données expérimentales obtenues lors de mesures généralement entachées d’erreurs.

La fonction f choisie doit minimiser la quantité .

2. Ajustement linéaire

Si le nuage des points qui représentent les deux séries montre qu’un ajustement linéaire par une droite d’équation y=ax+b est possible, on démontre qu’il faut prendre et b = m_y - am_x pour réaliser le meilleur ajustement possible.

# Ajustement linéaire 
from math import* 
n=eval(input("Quel est l'effectif de chaque série ?")) 
listex,listey=[],[] 
# Calcul des moyennes et des variances 
sommex,sommey=0,0 
for i in range (1,n+1): 
    x=eval(input("Valeur de x ?")) 
    listex=listex+[x] 
    sommex=sommex+x 
for i in range (1,n+1): 
    y=eval(input("Valeur de y ?")) 
    listey=listey+[y] 
    sommey=sommey+y 
mx,my=sommex/n,sommey/n 
v,w=0,0 
for i in range(0,n): 
    v=v+(mx-listex[i])**2 
    w=w+(my-listey[i])**2 
Vx,Vy=v/n,w/n 
# Calcul...