Nombres complexes

1. Historique

Après l’invention de l’algèbre, les mathématiciens arabo-musulmans ont essayé de résoudre les équations du troisième degré mais n’y sont pas parvenus. Les mathématiciens italiens de la Renaissance ont essayé à leur tour au XVI^e siècle. Après les avoir plus ou moins empruntées à Nicolas Tartaglia (1500-1557), Jérôme Cardan (1501-1576) publie en 1545 des formules qui permettent de résoudre les équations de la forme x³ = px - q avec p et q entiers positifs. Il montre que cette équation a une solution réelle si 27q²-4p³≥0. Cette solution est alors donnée par la formule .

Autoportrait de Jérôme Cardan (1501-1576)

Vers 1560, Raphaël Bombelli (1526-1573) commence à étudier l’équation x³=15x+4. Cette équation a comme solution évidente x=4 mais la formule de Cardan ne peut pas la donner puisque le nombre 27×4²-4×15³ est négatif. Mais Bombelli décide de l’utiliser tout de même, ce qui fait apparaître des racines carrées de nombres négatifs. Menant ses calculs comme avec les nombres usuels, Bombelli applique la formule de Cardan et obtient soit . Il appelle piu di meno le « nombre » dont le carré vaut -1 et constate que et . Il en résulte que , ce qui est bien la solution recherchée. Bombelli...

1. Cas d’une équation à coefficients réels

Soit ax²+bx+c=0 une équation du second degré dont les coefficients a, b et c sont des nombres réels, avec a ≠ 0. Cette équation a toujours 2 solutions dans C même quand son discriminant ∆=b²-4ac est négatif car elle admet alors pour solutions les nombres complexes et .

Pour résoudre une telle équation, on peut utiliser le programme suivant (comme le fait Python, nous avons désigné par j au lieu de i le nombre complexe dont le carré vaut -1.) :

# Résolution dans C d'une équation du second degré 
# à coefficients réels 
from math import* 
# Coefficients de l'équation 
a=eval(input("Quelle est la valeur de a ? ")) 
b=eval(input("Quelle est la valeur de b ? ")) 
c=eval(input("Quelle est la valeur de c ? "))  
# Calcul du discriminant 
delta=b*b-4*a*c 
print("delta=", delta) 
# Résultat si delta>0 
if delta>0: 
    x1=(-b+sqrt(delta))/2/a 
    x2=(-b-sqrt(delta))/2/a 
    print("1ère solution=", x1) 
    print("2ème solution=", x2)  
# Résultat si delta=0 
if delta==0: 
    x=-b/2/a 
    print("Une solution double x=",x) 
# Résultat si delta...

1. Suites récurrentes

On peut utiliser Python pour calculer les n premières valeurs d’une suite récurrente (z_n). Le terme général de cette suite peut être exprimé sous forme algébrique, sous forme trigonométrique ou bien sous forme exponentielle.

Pour les propriétés où la distance intervient, la valeur absolue est remplacée par le module, qui se note de la même façon. Par exemple, une suite (z_n) est bornée si, pour tout entier naturel n, il existe un réel M positif tel que . Naturellement, l’emploi de Python ne peut constituer une démonstration des propriétés observées, mais il permet de conjecturer certaines de ces propriétés.

2. Partie réelle et partie imaginaire d’une suite complexe

Soit (z_n) une suite de nombres complexes. Chaque terme de cette suite peut s’écrire sous la forme algébrique z_n=a_n+ib_n. Les nombres réels a_n et b_n sont donc les termes de deux suites. La suite (a_n) est la partie réelle de la suite (z_n) tandis que la suite (b_n) en est la partie imaginaire. Les suites (a_n) et (b_n) sont souvent notées Re(z_n) et Im(z_n).

3. Convergence d’une suite

On dit qu’une suite (z_n) de nombres complexes converge vers l ou a pour limite le nombre complexe l s’il existe un nombre qui possède la propriété...

1. Fonctions nouvellles

On peut définir de très nombreuses fonctions de C dans C. Par exemple, z→2z, z→-3z2, z→, z→, etc. Si f est une fonction telle que z’=f(z), le nombre z’ peut s’écrire z’=g(z)+ih(z), g(z) et h(z) étant des nombres réels. On peut étudier algébriquement et analytiquement les propriétés de la fonction f mais on ne peut pas la représenter graphiquement¹⁴ puisqu’elle dépend de deux variable réelles. On peut aussi étudier les propriétés de la fonction associée φ qui envoie le point M(z) sur le point M’(z’). En choisissant f convenablement, on peut facilement retrouver quelques transformations planes classiques¹⁵ comme les translations, les rotations, les homothéties, les similitudes, etc.

2. La fonction z→ z+a

Le plan est muni d’un repère orthonormé direct . Soit A(x_A;y_A) un point quelconque du plan complexe et soit M, N et P trois autres points dont les affixes respectifs sont m, n et p. Le programme qui suit permet de choisir ces points et de calculer les affixes m’, n’ et p’ de leurs images M’, N’ et P’ par la fonction z→z+a.

# Fonction zz+a 
from math import* 
xA=eval(input("Valeur de xA ? ")) 
yA=eval(input("Valeur de yA ? ")) 
xM=eval(input("Valeur...