Outils statistiques de prévisions

Principe

La régression est probablement l’outil statistique le plus utilisé pour établir des prévisions. Le but de la régression est d’estimer la relation qu’il existe entre deux ou plusieurs variables.

Si le modèle a une seule variable explicative, il s’agit d’une régression linéaire simple. Dans le cas où le modèle à plusieurs variables explicatives, nous parlerons d’une régression linéaire multiple.

Il est possible de faire des régressions linéaires avec des variables numériques ou catégorielles. Enfin, toutes les régressions ne sont pas linéaires, selon la relation qu’il existe entre les données, il pourra s’agir de régressions non linéaires.

Cette méthode doit son nom à Francis Galton, mathématicien, statisticien et sociologue anglais, qui fut un des premiers à l’utiliser, notamment pour tenter de prédire, en 1888, la taille d’un enfant à l’âge adulte en fonction de la taille de ses parents.

Francis Galton 1822 - 1911

Aujourd’hui, la régression linéaire est utilisée dans toute sorte de domaines : prévisions commerciales, finances d’entreprise, finances de marché, dans le domaine de la santé, dans les études économiques, sociologiques... En outre, il s’agit de l’un des algorithmes les plus utilisés en data sciences/machine learning.

Nuage de points montrant la relation entre taille et poids

Cet exemple est un graphique en nuage de points représentant sur l’axe des abscisses, la taille en centimètres d’individus et sur l’axe des ordonnées leur poids en kilo.

Même s’il existe des personnes plus lourdes ou plus légères que la moyenne, il est probable qu’il y ait une relation entre le poids et la taille des individus.

Si nous tentons de tracer une droite représentant la tendance de ce graphique, plusieurs points seront en dessous de cette droite, d’autres seront au-dessus et quelques points seulement se retrouveront sur la droite.

La meilleure droite de régression possible, celle qui capturera au mieux la tendance de nos données est la droite qui minimisera la distance...

Première étape : représentation graphique des données

Nous allons représenter nos données avec un graphique en nuage de points.

A priori, visuellement, il existerait bien une corrélation positive entre le chiffre d’affaires et les dépenses mensuelles en publicité.

Relation entre dépenses publicitaires et chiffre d’affaires

Toujours d’après la forme du nuage de points, il semblerait que la relation entre les deux variables pourrait être approximée par une régression linéaire.

Deuxième étape : calcul des éléments de la régression

Concept

La régression linéaire multiple utilise les mêmes principes que la régression linéaire simple, mis à part que, dans ce cas, on utilisera deux ou plusieurs variables explicatives.

L’équation d’une régression linéaire multiple peut être écrite :

y = a1x1 + a2x2..... a_nx_n + b

où

y est la variable dépendante, aussi appelée variable expliquée. Il s’agit de la variable dont le modèle va tenter d’expliquer le mieux possible la variabilité.

x1,x2,x_n sont les variables indépendantes, aussi appelées prédicteurs ou variables explicatives. Il s’agit des données qui vont servir au modèle pour tenter d’expliquer la variabilité de y.

a1,a2,a_n sont les coefficients directeurs associés à chacune des différentes variables indépendantes. 

b est l’ordonnée à l’origine de la droite.

Contrairement au nuage de points en deux dimensions qui représente graphiquement la mesure de deux variables liées, il n’est pas aisé de faire une représentation graphique d’une régression multiple.

Dans le cas où il y a deux variables indépendantes, il est toutefois possible de créer un nuage de points en trois dimensions :

Nuage de points...

Concept

Une variable catégorielle aussi appelée variable qualitative, est tout simplement une variable sur laquelle il n’est pas possible de faire un calcul. Cela peut être par exemple :

Contrairement aux variables numériques, pour faire une régression linéaire avec des variables catégorielles, il va falloir utiliser une technique spéciale : la technique de la variable muette (dummy variable).

Comme il n’est pas possible de faire des calculs avec des variables catégorielles, nous allons utiliser un code qui ressemble au code binaire

Dans la colonne Homme, nous avons attribué la valeur 1 à la ligne Bob pour signifier qu’il s’agit d’un homme et dans la colonne femme, nous avons attribué la valeur 1 à la ligne Elena pour signifier qu’il s’agit d’une femme.

Il est possible de simplifier le tableau précédent de la manière suivante :

Elena a la valeur 1 dans la colonne Femme, et Bob a la valeur 0, signifiant qu’il ne s’agit pas d’une femme (et donc c’est forcément un homme).

Le principe est le même avec quatre variables catégorielles.

Dans cet exemple, Elena habite dans la région Nord et Bob n’habite pas dans la région Est ni dans la région Ouest ni dans la région Nord. Il habite donc forcément dans la région Sud.

Application avec Excel

Un magasin de jouets investit régulièrement dans des campagnes de publicité internet et papier. Récemment, le magasin a particulièrement centré ses campagnes publicitaires sur deux modèles de jouet.

Le directeur du magasin souhaiterait déterminer lequel des deux médias est le plus susceptible d’améliorer son chiffre d’affaires pour chacun des deux modèles de jouet. Il souhaiterait en outre estimer quel serait son chiffre d’affaires probable s’il dépensait 5 000 € par mois...

Un outil pour lire les signaux faibles

C’est exactement le rôle de la régression logistique : transformer des données ordinaires en un véritable indicateur de risque.

À partir d’informations déjà présente : le montant des transactions, l’historique des paiements, l’ancienneté… le modèle estime la probabilité qu’un client fasse défaut.

On quitte le terrain de l’intuition pour celui du score chiffré : une probabilité entre 0 et 1, fondée sur des faits plutôt que sur une impression.

Ce que vous allez apprendre

Cette section propose une approche progressive pour comprendre et utiliser la régression logistique dans un cadre financier.

Nous commencerons par un modèle simple basé sur une seule variable, afin d’en maîtriser les mécanismes fondamentaux.

Ensuite, nous passerons à un exemple plus réaliste, intégrant plusieurs facteurs explicatifs pour affiner la prédiction du risque.

À chaque étape, nous apprendrons à interpréter les résultats produits par le modèle et à les traduire en décisions concrètes, utiles dans la gestion des risques.

Enfin, nous découvrirons comment mettre en œuvre ces modèles grâce à Python directement dans Microsoft Excel.

Cette combinaison permet de bénéficier de la puissance de l’analyse statistique de ce langage de programmation tout en restant dans un environnement familier.

Vous verrez que l’on peut désormais coder, tester...

Principe

La méthode des moyennes mobiles est une méthode de lissage basée sur l’idée de faire des prévisions d’après la moyenne des valeurs observées des dernières périodes.

Puisque cette méthode part du principe que les observations futures vont être similaires aux dernières observations, les moyennes mobiles sont plutôt utilisées pour faire des prédictions à court terme.

Prévisions par moyennes mobiles

Cette méthode consiste à faire une prévision à partir de la moyenne des N dernières observations.

Exemple :

Si N est égal à 3, nous allons faire la moyenne des 3 premières valeurs pour faire une prédiction de la quatrième valeur.

Calcul d’une moyenne mobile sur trois semaines

Intérêt

La méthode des moyennes mobiles et les méthodes de lissage en général peuvent aider à distinguer les mouvements dus au hasard des changements fondamentaux de la tendance dans une série chronologique. Il sera ainsi possible d’une part de déterminer si la tendance de la série chronologique augmente, diminue ou reste au même niveau et d’autre part, de se servir de cette tendance pour réaliser des prévisions.

Exemple :

Il a fait exceptionnellement froid durant le mois de janvier, de ce fait, les clients ont été moins enclins à sortir pour réaliser des achats. Le temps s’est amélioré par la suite, les clients ayant reporté leurs achats en janvier, les ont réalisés au cours de février et mars.

En effectuant une moyenne des observations des mois de janvier, février et mars, il est possible d’avoir une meilleure idée de la tendance générale des ventes pour réaliser une prévision du niveau des ventes durant le mois d’avril.

Plus la période prise en compte dans le calcul des moyennes mobiles sera élevée, plus la prévision sera dépendante d’observations anciennes. Le modèle ne réagira donc pas rapidement aux fluctuations...

Principe

Dans certains cas, et selon l’activité de l’entreprise, il est souhaitable d’avoir un modèle prédictif dans lequel les dernières observations réelles ont plus d’importance dans la détermination des prévisions que les valeurs plus anciennes. Dans la méthode des moyennes mobiles pondérées, un coefficient ou un pourcentage est affecté à chaque observation. 

Application avec Excel 

Vous retrouverez les données de cet exemple dans la feuille MMP_donnees du fichier moyenne mobile.xlsx. Sa résolution se trouve dans l’onglet MMP_resultat.

Dans notre magasin de jouets, le comptable propose de réaliser une prévision selon la méthode des moyennes mobiles pondérées en utilisant un nombre N=2.

Il propose d’affecter un pourcentage de 40 % à l’observation la plus ancienne et un pourcentage de 60 % à l’observation la plus récente pour chaque moyenne mobile.

Paramétrage d’une moyenne mobile pondérée

Le résultat est le suivant :

Prévision par moyenne mobile pondérée

Et donc d’après...

Principe

L’idée derrière le lissage exponentiel est d’utiliser la dernière valeur connue corrigée de la différence entre cette dernière valeur et la dernière prévision.

Le lissage exponentiel est en quelque sorte un modèle qui s’autocorrige.

L’invention du lissage exponentiel est attribuée au mathématicien Siméon Denis Poisson, connu notamment pour la loi de Poisson (théorie des probabilités).

Exemple :

Les ventes réelles du mois de juin sont de 258 094 €.

La prévision réalisée concernant les ventes du mois de juin était de 259 913 €.

Application avec Excel

Vous retrouverez...

Les coefficients saisonniers

Un coefficient saisonnier est le rapport d’une saison (ou de la moyenne d’une saison spécifique sur plusieurs années) par rapport à la moyenne d’une série.

Exemple

Calcul des coefficients saisonniers

L’intérêt de ce calcul est double :

La fonction PREVISION.ETS

La fonction PREVISION.ETS est basée sur un algorithme d’apprentissage de haut niveau et très efficace en matière de prévisions : le lissage exponentiel triple ou Exponential Triple Smoothing.

Cette méthode est aussi connue sous le nom de Holt - Winters, du nom des deux professeurs du MIT qui ont mis au point cet algorithme à partir de la méthode du lissage exponentiel.

Même si la démonstration mathématique du lissage exponentiel triple dépasse le cadre de cet ouvrage, dans le principe cette fonction estime à la fois :

Série chronologique avec tendance et saisonnalité

Application

À partir des données de la feuille donnee_ETS du fichier nouv_fonc_prev.xlsx, nous allons effectuer une prévision du chiffre d’affaires pour les 15 prochains mois (nous nous plaçons en septembre 2027 et nous allons réaliser des prévisions jusqu’à décembre 2028).

Données mensuelles de chiffre d’affaires

(8 premières lignes des données de l’onglet donnee_ETS)

La résolution de cet exemple se trouve dans la feuille ETS.resolu du fichier nouv_fonc_prev.xlsx.