Monte Carlo

1. Principe général

Les méthodes de Monte Carlo utilisent le hasard pour résoudre des problèmes numériques.

Le principe est simple : au lieu d’un calcul exact, on répète une expérience aléatoire un très grand nombre de fois. La moyenne des résultats de toutes ces expériences converge vers la solution recherchée. Il devient ainsi possible d’obtenir non pas la réponse exacte, mais une estimation dont la précision reste contrôlable.

Utiliser cette approche est pertinent quand un calcul direct est trop complexe, voire impossible. La complexité peut venir d’un trop grand nombre de variables ou de règles de systèmes complexes.

Au lieu de tenter de résoudre une équation mathématique exacte, le processus statistique qui génère le résultat est entièrement modélisé.

Prenons l’exemple d’une intégrale complexe. Un calcul analytique (la « formule exacte ») peut être impossible. Avec Monte Carlo, des milliers de points sont tirés au hasard dans le domaine d’intégration. La proportion de points qui tombent sous la courbe est ensuite calculée. Cette proportion, multipliée par l’aire du domaine, donne une estimation de l’intégrale.

Ces méthodes se retrouvent dans différents domaines. En finance, pour évaluer un risque, des milliers de scénarios de marché (krach, hausse subite, stagnation) sont reproduits afin d’observer la distribution des pertes ou gains potentiels. En logistique, pour optimiser une chaîne d’approvisionnement, la simulation des pannes de camions, des retards de fournisseurs ou des pics de demande permet de détecter les points faibles. Dans les jeux, pour définir une stratégie au poker, des millions de donnes aléatoires sont générées pour identifier les choix qui mènent le plus souvent à la victoire. L’hypothèse fondamentale est que si le modèle de simulation est correct, le comportement moyen des simulations reflétera le comportement réel du système.

Pour illustrer ce concept de « processus »...

1. Variables antithétiques

Cette technique cherche à introduire une corrélation négative entre deux simulations afin que l’erreur de l’une compense mécaniquement l’erreur de l’autre.

Pour chaque tirage aléatoire suivant une loi uniforme sur [0; 1], son complémentaire est utilisé simultanément. Si est proche de 1), sera proche de 0 , et vice-versa. L’estimation finale est calculée sur la moyenne de l’ensemble de ces paires.

Dans le cas de l’estimation de , l’expérience repose sur le tirage de deux coordonnées . La méthode de la variable antithétique peut s’appliquer uniquement sur la coordonnée . Pour cela, une première série de points est générée. Ensuite, points miroirs sont créés sous la forme . Enfin, l’estimation est réalisée sur les points combinés. La présence d’un point proche de la borne supérieure 1 se trouve compensée par son symétrique ce qui stabilise le taux de succès , où est le nombre total de succès obtenus.

En Python, la mise en place d’un tel processus s’effectue manuellement. La première étape consiste à générer la première série de couples  :

np.random.seed(42) 
N = 10000 
x1 = np.random.rand(N//2) 
y1 = np.random.rand(N//2)  

Une deuxième série de couples est ensuite construite par symétrie à partir de la première  :

x2 = x1 
y2 = 1 - y1 
K1 = np.sum(x1**2 + y1**2 <= 1) 
K2 = np.sum(x2**2 + y2**2 <= 1)  

Enfin, la formule standard est appliquée sur l’ensemble des points pour obtenir l’estimation de :

K=K1 + K2 
estimated_pi=4 * K / N  

L’analyse de la convergence met en évidence l’apport de cette méthodologie :

1. Importance et enjeux de la dépendance

Ignorer les relations entre les variables peut rendre une simulation totalement inopérante, voire dangereuse dans un contexte de prise de décision.

Prenons un exemple concret en gestion de projet. Lors de la modélisation de la durée d’un chantier, le retard du peintre ne peut pas être considéré comme indépendant du retard du plâtrier. Si le plâtrier est en retard, le peintre le sera forcément. Si ces deux évènements sont modélisés comme indépendants, la simulation sous-estimera systématiquement la durée totale et le risque de retard final.

En finance, c’est encore plus critique. Lors de la simulation d’un portefeuille d’actions, supposer que les entreprises évoluent de manière totalement décorrélée conduit à sous-estimer le risque de krach. En réalité, lors d’une crise, toutes les actions ont tendance à chuter simultanément.

Pour que les simulations de Monte Carlo soient fidèles à la réalité, il est indispensable de pouvoir générer des variables capables d’évoluer conjointement.

L’outil mathématique standard pour définir ces relations est la matrice de covariance (ou sa version normalisée, la matrice de corrélation).

Si l’on a un vecteur de variables aléatoires la structure de dépendance est résumée par une matrice carrée de taille . Chaque élément  représente la covariance entre la variable et la variable . Dans le cas d’une matrice de corrélation, les valeurs sont normalisées entre -1 et 1. Une valeur de +1 indique une corrélation...