Probabilité et lois statistiques

1. Notions de probabilité

a. Événements et espace probabiliste

La probabilité mesure la chance qu’un événement se produise. Un événement est un résultat possible d’une expérience aléatoire. Par exemple, obtenir « pile » lors d’un lancer de pièce est un événement.

L’espace probabiliste (ou univers) regroupe tous les résultats possibles d’une expérience. Pour un lancer de pièce, l’espace probabiliste contient deux éléments : {pile, face}. Pour un lancer de dé, il en contient six :

Un événement peut être élémentaire (un seul résultat) ou composé (plusieurs résultats). « Obtenir un 6 » est un événement élémentaire. « Obtenir un nombre pair » est un événement composé regroupant .

b. Probabilité d’un événement

La probabilité d’un événement , notée , est un nombre entre 0 et 1. Une probabilité de 0 signifie que l’événement est impossible. Une probabilité de 1 signifie qu’il est certain. Une probabilité de 0,5 (ou 50%) indique que l’événement a une chance sur deux de se produire.

Pour calculer la probabilité d’un événement A dans un espace équiprobable (où tous les résultats ont la même chance), nous utilisons la formule suivante :

Pour un dé équilibré, la probabilité d’obtenir un 6 est de . La probabilité d’obtenir un nombre pair est de .

La somme des probabilités de tous les événements élémentaires d’un espace probabiliste vaut toujours 100% (ou 1).

2. Règles de calcul

Trois règles permettent de combiner les probabilités. Pour cette sous-section, nous considérons deux événements A et B.

a. Intersection (et)

La probabilité que A et B se produisent simultanément s’écrit Si A et B sont indépendants (le résultat de l’un n’influence pas l’autre), alors :

L’indépendance signifie que la réalisation...

1. Définition d’une loi de probabilité ?

Une loi de probabilité décrit comment les probabilités se répartissent sur l’ensemble des valeurs possibles d’une variable aléatoire. Elle donne la structure complète de la distribution des résultats.

Dans la section précédente, vous avez vu les fondements : événements, probabilités, variables aléatoires. Une loi de probabilité assemble ces éléments en un modèle cohérent qui caractérise entièrement le comportement d’une variable aléatoire.

Chaque loi de probabilité est définie par sa fonction de masse (pour les variables discrètes) ou sa fonction de densité (pour les variables continues). Ces fonctions, combinées à la fonction de répartition, permettent de calculer toutes les probabilités associées à la variable.

Une loi possède généralement des paramètres qui déterminent sa forme. Par exemple, pour un lancer de dé, le nombre de faces est un paramètre. Modifier ce paramètre change la distribution des probabilités.

Les lois de probabilité se classent en deux familles selon la nature de la variable aléatoire. Les lois discrètes s’appliquent aux variables qui prennent un nombre fini ou dénombrable de valeurs. Le nombre de pannes d’une machine en un mois, le nombre de visiteurs dans une boutique, ou le résultat d’un lancer de dés suivent des lois discrètes. Les lois continues concernent les variables qui peuvent prendre n’importe quelle valeur dans un intervalle. La taille d’une personne, la durée d’un trajet, ou le chiffre d’affaires d’une boutique dans le temps suivent des lois continues.

Certaines lois portent des noms car elles modélisent des situations récurrentes. La loi binomiale compte les succès dans une série d’essais. La loi de Poisson décrit les événements rares. Ces lois standardisées évitent de redéfinir...

1. Lois continues

a. Loi uniforme

La loi uniforme est la loi continue la plus simple. Une variable suit une loi uniforme sur l’intervalle si toutes les valeurs de cet intervalle ont la même probabilité d’apparaître. Elle se note .

La fonction de densité est constante sur [a, b] et nulle ailleurs :

Cette fonction forme un rectangle de hauteur . La surface sous la courbe vaut 1, comme pour toute densité.

La moyenne de la loi uniforme est , le milieu de l’intervalle. La variance est

La loi uniforme modélise des situations où aucune valeur n’est privilégiée dans un intervalle donné. L’heure d’arrivée aléatoire d’un bus dans une plage horaire, l’erreur d’arrondi d’une mesure, ou la position d’un point tiré au hasard sur un segment suivent des lois uniformes.

La fonction de répartition de la loi uniforme croît linéairement de 0 à 1 sur  :

Voici le graphique de la fonction de densité et de la fonction de répartition :

Ces deux graphiques illustrent la loi uniforme Le graphique de gauche montre la fonction de densité. Elle forme un rectangle parfait de hauteur constante sur l’intervalle [5; 20]. En dehors de cet intervalle, la densité est nulle. Cette forme rectangulaire traduit le fait que toutes les valeurs entre 5 et 20 ont exactement la même probabilité d’apparaître.

Le graphique de droite présente la fonction de répartition. Elle reste nulle jusqu’à x = 5, puis croît linéairement de 0 à 1 entre 5 et 20, avant de rester constante à 1 au-delà de 20. La pente de cette droite est constante : . À mi-chemin de l’intervalle (), la fonction de répartition vaut 0,5, ce qui signifie que la moitié des valeurs sont inférieures à 12,5.

Tout comme la loi normale, scipy.stats dispose de sa bibliothèque pour la loi uniforme.

from scipy.stats import uniform  

Attention, uniform utilise une paramétrisation différente. Le paramètre loc fixe la borne inférieure , et scale donne la largeur , pas la borne supérieure.

a = 5 
b = 20 
scale=b-a  

Pour calculer la densité, cette bibliothèque propose aussi...