Statistiques inférentielles

Échantillonnage et biais

1. Principes de l’échantillonnage en statistique

En statistique, on distingue la population de l’échantillon. La population représente l’ensemble complet des individus ou observations qui nous intéressent. L’échantillon est un sous-ensemble de cette population, sélectionné pour l’analyser.

Étudier une population complète est souvent impossible. Interroger tous les électeurs d’un pays, mesurer tous les arbres d’une forêt ou tester tous les produits d’une chaîne de fabrication demande trop de temps et de ressources. On prélève donc un échantillon et on utilise ses caractéristiques pour estimer celles de la population.

Cette démarche s’appelle l’inférence statistique. On passe de l’échantillon (ce qu’on observe) à la population (ce qu’on cherche à connaître). La qualité de cette inférence dépend directement de la qualité de l’échantillonnage.

2. Méthodes d’échantillonnage

a. Échantillonnage aléatoire simple

L’échantillonnage aléatoire simple donne à chaque individu de la population la même probabilité d’être sélectionné. C’est la méthode de référence. Elle évite les distorsions systématiques et permet d’appliquer la théorie statistique classique.

Pandas offre la méthode sample() pour extraire un échantillon aléatoire d’un DataFrame. Cette méthode accepte plusieurs paramètres.

Le paramètre n définit le nombre d’observations à prélever. Le paramètre random_state fixe la graine aléatoire pour reproduire l’échantillon. Le paramètre replace autorise ou non le tirage avec remise.

Reprenons notre exemple du chiffre d’affaires des boutiques, pour lesquelles on souhaite extraire un échantillon de 300 valeurs. Tout d’abord, importons les données avec Pandas :

import pandas as pd 
sales = pd.read_csv("sales_global.csv", sep=';')

Ensuite, prélevons un échantillon de 300 personnes. On mettra une graine de 42 afin...

Théorème central limite

Le théorème central limite est l’un des résultats les plus importants de la statistique. Il explique pourquoi la loi normale apparaît si fréquemment dans la nature et justifie l’usage de nombreuses méthodes statistiques.

1. Principe fondamental

Quand on prélève des échantillons aléatoires d’une population, la distribution des moyennes de ces échantillons suit approximativement une loi normale, quelle que soit la distribution initiale de la population. Cette propriété devient de plus en plus vraie à mesure que la taille des échantillons augmente.

Ce résultat est remarquable. La population peut suivre n’importe quelle distribution : uniforme, exponentielle, etc. Dès qu’on calcule des moyennes d’échantillons suffisamment grands, ces moyennes se distribuent selon une courbe en cloche.

Le théorème précise également la forme de cette distribution normale. La moyenne des moyennes d’échantillons est égale à la moyenne de la population. L’écart-type des moyennes d’échantillons, appelé erreur standard, est égal à l’écart-type de la population divisé par la racine carrée de la taille de l’échantillon. L’erreur standard mesure la variabilité des moyennes d’échantillons. Elle diffère de l’écart-type de la population. Quand on augmente la taille de l’échantillon, l’erreur standard diminue, mais l’écart-type de la population reste constant.

La formule de l’erreur standard est :

où

représente l’écart-type de la population et Images/5eq_293.png

la taille de l’échantillon.

Cette formule montre un point crucial : pour diviser l’erreur standard par deux, il faut multiplier la taille de l’échantillon par quatre. La précision s’améliore avec la taille de l’échantillon, mais de moins en moins vite.

2. Conditions d’application

Le théorème central limite s’applique sous certaines conditions. La première condition est l’indépendance des observations. Chaque observation doit être indépendante des autres. Un échantillon...

Tests d’hypothèses

1. Principes des tests d’hypothèses

Un test statistique aide à prendre des décisions face à l’incertitude. Vous observez des données d’un échantillon et vous voulez tirer des conclusions sur la population. Le test fournit un cadre rigoureux pour décider si une affirmation est plausible ou non.

Imaginons qu’un fabricant affirme que ses ampoules durent 1000 heures en moyenne. On teste 50 ampoules et obtient une moyenne de 950 heures. Cette différence est-elle due au hasard de l’échantillonnage ou indique-t-elle que le fabricant ment ? Le test statistique répond à cette question.

Les tests statistiques ne prouvent rien avec certitude. Ils évaluent la compatibilité entre vos données et une hypothèse. Ils quantifient la probabilité d’observer ces résultats si l’hypothèse était vraie.

Hypothèses « nulle » et « alternative »

Tout test statistique commence par formuler deux hypothèses. L’hypothèse nulle, notée Images/5eq_280.png

, représente la situation par défaut, l’absence d’effet. L’hypothèse alternative, notée Images/5eq_279.png

, représente ce que l’on cherche à démontrer.

Pour l’exemple des ampoules, l’hypothèse nulle est : « La durée moyenne des ampoules est de 1000 heures ». L’hypothèse alternative est : « La durée moyenne des ampoules n’est pas de 1000 heures ».

Le test évalue la crédibilité de Images/5eq_277.png

. Si les données sont très incompatibles avec Images/5eq_276.png

, on la rejette au profit de Images/5eq_275.png

. Si les données sont compatibles avec Images/5eq_274.png

, on ne peut pas la rejeter.

Ne pas rejeter Images/5eq_273.png

ne signifie pas l’accepter. Cela signifie simplement que l’on n’a pas assez de preuves contre elle. L’absence de preuve n’est pas la preuve de l’absence.

Valeur p (ou p-value)

La valeur

est le cœur du test statistique. Elle mesure la probabilité d’observer des données au moins aussi extrêmes que les nôtres si Images/5eq_271.png

était vraie.

Une valeur Images/5eq_270.png

faible indique que nos données sont improbables sous Images/5eq_269.png

. Une valeur Images/5eq_268.png

élevée...